高三数学课文导数、定积分教案

在高中的考试中，数学是难点，但是数学学科决定了我们高考成绩的好坏，所以在平时的学习中，我们应该重视难点知识点的学习，提高自己的学习能力，下面是学大的专家为大家总结的高三数学课文导数、定积分教案。

1.导数概念及其几何意义

(1)了解导数概念的实际背景;

(2)理解导数的几何意义.

2.导数的运算

(1)能根据导数定义，求函数y=c(c为常数)，y=x，y=x2，y=x3，y= ，y= 的导数;

(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.

3.导数在研究函数中的应用

(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);

(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

4.生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

5.定积分与微积分基本定理

(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念;

(2)了解微积分基本定理的含义. 本章重点：

1.导数的概念;

2.利用导数求切线的斜率;

3.利用导数判断函数单调性或求单调区间;

4.利用导数求极值或最值;

5.利用导数求实际问题最优解.

本章难点：导数的综合应用. 　　导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答 题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.

3 .1　导数的概念与运算

典例精析

题型一　导数 的概念

【例1】 已知函数f(x)=2ln 3x+8x，

求 f(1-2Δx)-f(1)Δx的值.

【解析】由导数的定义知：

f(1-2Δx)-f(1)Δx=-2 f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f′(1)=-20.

【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时， 平均变化率ΔyΔx的极限.

【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)=t2100，则在时刻t=10 min的降雨强度为(　　)

A.15 mm/min B.14 mm/min

C.12 mm/min D.1 mm/min

【解析】选A.

题型二　求导函数

【例2】 求下列函数的导数.

(1)y=ln(x+1+x2);

(2)y=(x2-2x+3)e2x;

(3)y=3x1-x.

【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.

(1)y′=1x+1+x2(x+1+x2)′

=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.

(2)y′=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x

=2(x2-x+2)e2x.

(3)y′=13(x1-x 1-x+x(1-x)2

=13(x1-x 1(1-x)2

=13x (1-x)

【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))=　　　　　 　; f(1+Δx)-f(1)Δx=　　 　　　　(用数字作答).

【解析】f(0)=4，f(f(0))=f(4)=2，

由导数定义 f(1+Δx)-f(1)Δx=f′(1).

当0≤x≤2时，f(x)=4-2x，f′(x)=-2，f′(1)=-2.

题型三　利用导数求切线的斜率

【例3】 已知曲线C：y=x3-3x2+2x， 直线l：y=kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.

【解析】由l过原点，知k=y0x0 (x0≠0)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0=x30-3x20+2x0，

所以 y0x0=x20-3x0+2.

而y′=3x2-6x+2，k=3x20-6x0+2.

又 k=y0x0，

所以3x20-6x0+2=x20-3x0+2，其中x0≠0，

解得x0=32.

所以y0=-38，所以k=y0x0=-14，

所以直线l的方程为y=-14x，切点坐标为(32，-38).

【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.

【变式训练3】若函数y=x3-3x+4的切线经过点(-2，2)，求此切线方程.

【解析】设切点为P(x0，y0)，则由

y′=3x2-3得切线的斜率为k=3x20-3.

所以函数y=x3-3x+4在P(x0，y0)处的切线方程为

y-y0=(3x20-3)(x-x0).

又切线经过点(-2,2)，得

2-y0=(3x20-3)(-2-x0)，①

而切点在曲线上，得y0=x30-3x0+4， ②

由①②解得x0=1或x0=-2.

则切线方程为y=2 或 9x-y+20=0.

总结提高

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有以下两种求法：

(1) 导数的定义，即求 ΔyΔx= f(x0+Δx)-f(x0)Δx的值;

(2)先求导函数f′(x)，再将x=x0的值代入，即得f′(x0)的值.

2.求y=f(x)的导函数的几种方法：

(1)利用常见函数的导数公式;

(2)利用四则运算的导数公式;

(3)利用复合函数的求导方法.

3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)，就是函数y=f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.

3.2 导数的应用(一)

典例精析

题型一　求函数f(x)的单调区间

【例1】已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.

【解析】函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1，+∞).

f′(x)=2x-a-ax-1=2x(x-a+22)x-1，

①若a≤0，则a+22≤1，f′(x)=2x(x-a+22)x-1>0在(1，+∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，+∞).

②若a>0，则a+22>1，

故当x∈(1，a+22]时，f′(x)=2x(x-a+22)x-1≤0;

当x∈[a+22，+∞)时，f′(x)=2x(x-a+22)x-1≥0，

所以a>0时，f(x)的减区间为(1，a+22]，f(x)的增区间为[a+22，+∞).

【点拨】在定义域x>1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数a+22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.

【变式训练1】已知函数f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.

【解析】因为f′(x)=2x+1x-a，f(x)在(0,1)上是增函数，

所以2x+1x-a≥0在(0,1)上恒成立，

即a≤2x+1x恒成立.

又2x+1x≥22(当且仅当x=22时，取等号).

所以a≤22，

故a的取值范围为(-∞，22].

【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时⇒f′(x)≥0在(a，b)上恒成立;同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时⇒f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.

题型二　求函数的极值

【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1.

(1)试求常数a，b，c的值;

(2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.

【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.

因为x=±1是函数f(x)的极值点，

所以x=±1是方程f′(x)=0，即3ax2+2bx+c=0的两根.

由根与系数的关系，得

又f(1)=-1，所以a+b+c=-1. ③

由①②③解得a=12，b=0，c=-32.

(2)由(1)得f(x)=12x3-32x，

所以当f′(x)=32x2-32>0时，有x<-1或x>1;

当f′(x)=32x2-32<0时，有-1

所以函数f(x)=12x3-32x在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函数，在(-1,1)上是减函数.

所以当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1.

【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲， f(x)在点x=x0处取极值的必要条件是f′(x)=0.但是， 当x0满足f′(x0)=0时， f(x)在点x=x0处却未必取得极 值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值;如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.

【变式训练2】定义在R上的函数y=f(x)，满足f(3-x)=f(x)，(x-32)f′(x)<0，若x13，则有(　　)

A. f(x1)f(x2)

C. f(x1)=f(x2) D.不确定

【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+32)]=f(x+32)，即f(32-x)=f(x+32)，所以函数f(x)的图象关于x=32对称.又因为(x-32)f′(x)<0，所以当x>32时，函数f(x)单调递减，当x<32时，函数f(x)单调递增.当x1+x22=32时，f(x1)=f(x2)，因为x1+x2>3，所以x1+x22>32，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)>f(x2).故选B.

题型三　求函数的最值

【例3】 求函数f(x)=ln(1+x)-14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.

【解析】f′(x)=11+x-12x，令11+x-12x=0，化简为x2+x-2=0，解得x1=-2或x2=1，其中x1=-2舍去.

又由f′(x)=11+x-12x>0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)=ln 2-14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)=0，f(2)=ln 3-1>0，f(1)>f(2)，所以，f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)=ln 2-14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.

【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.

【变式训练3】(2008江苏)f(x)=ax3-3x+1对x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立，则a=　　　.

【解析】若x=0，则无论a为 何值，f(x)≥0恒成立.

当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥3x2-1x3，

设g(x)=3x2-1x3，则g′(x)=3(1-2x)x4，

x∈(0，12)时，g′(x)>0，x∈(12，1]时，g′(x)<0.

因此g(x)max=g(12)=4，所以a≥4.

当x∈[-1,0)时，f(x)≥0可以化为

a≤3x2-1x3，此时g′(x)=3(1-2x)x4>0，

g(x)min=g(-1)=4，所以a≤4.

综上可知，a=4.

同学们了解了高三数学课文导数、定积分教案，在平时的学习中，重视基础知识的学习和习题的练习，这样我们才能在考试中取得好成绩。